Mesa y diputación permanente

El pasado día 13 de enero tuvo lugar la sesión constitutiva del Congreso de los diputados, en la que se eligieron los miembros de la mesa del Congreso. La mesa es un órgano formado por un subconjunto de diputados que toma decisiones sobre el funcionamiento de los debates parlamentarios, incluyendo el orden de tramitación de leyes, e incluso si algunas leyes deben o no debatirse. Por eso es importante que sea un reflejo fiel de las fuerzas de la cámara, ya que si un partido o conjunto de partidos tienen mayoría de diputados, pero tiene minoría en la mesa, podría ser que no pudieran sacar adelante fácilmente su plan de gobierno si la mesa lo impidiera.

Por otro lado, más adelante se decidirán los miembros de la diputación permanente, con la misma filosofía: un subconjunto de diputados que se reúnen para tratar temas para los que no es necesario convocar al pleno. De nuevo interesa que la correlación de fuerzas se corresponda con la de los diputados, para que los resultados de las votaciones sean los mismos.

Sin embargo, es evidente que en muchos casos es imposible alcanzar la perfección. La composición final de la mesa consta de tres diputados del PP, y dos del PSOE, Podemos y C’s. Es decir, el PP y C’s tienen mayoría absoluta en la mesa, cuando en el congreso sólo suman 163 de los 350 diputados. Una hipotética coalición de todas las demás fuerzas les permitiría alcanzar la mayoría absoluta, pero la mesa podría retrasar o incluso evitar la tramitación de las leyes.

La mesa está formada por nueve miembros: el presidente, cuatro vicepresidentes y cuatro secretarios. Se puede demostrar que, independientemente de cómo se repartan los miembros de la mesa entre los partidos, nunca reflejarán perfectamente el resultado de las elecciones. En otras palabras: siempre habrá un conjunto de partidos sin mayoría absoluta en el congreso pero con mayoría absoluta en la mesa. Esto me ha inspirado para formular el siguiente problema: ¿Cuál sería el mínimo número de miembros que debe tener la mesa para reflejar perfectamente al congreso? En otras palabras: que un conjunto de partidos tenga mayoría absoluta en la mesa si y sólo si lo tiene en el congreso.

Otro problema similar consiste en permitir las abstenciones. En este caso pediríamos que un conjunto de partidos tenga más miembros que otro en la mesa si y sólo si tiene más diputados en el congreso. Se puede ver fácilmente que el número necesario siempre será mayor o igual que si no permitimos las abstenciones: En el parlamento de la pasada legislatura, siguiendo los resultados de las elecciones de noviembre de 2011, el PP tenía mayoría absoluta. Eso quiere decir que si la mesa estuviera formada únicamente por un miembro, del PP, ya reflejaría la cámara, ya que el voto del PP decide el voto del congreso. Sin embargo, si permitiéramos que los partidos se abstuvieran necesitaríamos muchos más miembros. En particular cada partido con representación parlamentaria tendría que estar representado en la mesa, ya que si todos los demás se abstuvieran el resultado de la votación dependería del voto de ese partido. Se puede demostrar que en este caso necesitaríamos 219 miembros: la mayoría absoluta justa del PP (110), la mayoría absoluta justa del PSOE sobre el resto (55), y los otros 54 con la misma representación que tienen en el congreso.

Dado que si no permitimos abstenciones necesitaremos menos miembros para representar perfectamente al congreso que si las permitimos, he decidido (de forma totalmente arbitraria) denominar al primer problema como problema de la mesa del Congreso, y al segundo como problema de la diputación permanente, ya que esta última está formada por 51 diputados.

Hay algunos trucos para resolver algunos casos del problema. En el caso de la diputación permanente podemos ver algunas propiedades triviales:

  • Los partidos con un diputado tienen que tener exactamente un diputado en la diputación permanente.
  • Si un conjunto de partidos tiene los mismos diputados que otro partido, entonces también tendrán los mismos diputados en la diputación permanente.
  • Si un partido tiene más diputados que todos los partidos con menos diputados, entonces en la diputación permanente tendrá tantos diputados como la suma de todos los que tienen los partidos con menos diputados, más uno.

Con tan solo estas propiedades sencillas se puede resolver el problema para la diputación permanente del Congreso de la legislatura 2011-2015. Pero para resolver el caso general hay que hacer un programa que lo calcule. La mejor solución que se me ha ocurrido tiene lo que en ciencias de la computación se denomina coste exponencial en el número de partidos, lo que significa que puede funcionar bien si el número de partidos es pequeño, pero a poco que crezca el programa no acabará nunca. En particular el coste es del orden de O(4ⁿ) en el caso de la mesa, y del orden de O(6ⁿ) en el caso de la diputación permanente.

En mi solución redefino el problema como un problema de programación entera. Cada variable representa el número de miembros que tiene un partido en la mesa o en la diputación permanente. La función a minimizar es la suma de variables, y hay una restricción por cada subconjunto de variables en el caso de la mesa: que sean mayor/menor/igual que la suma de las otras variables, dependiendo de si la suma de sus diputados es mayor, menor o igual. En el caso de la diputación permanente hay una restricción por cada dos subconjuntos disjuntos de partidos, y será una relación de mayor, menor o igualdad dependiendo del número de diputados que tenga cada uno de los subconjuntos.

La primera aplicación sería calcular la respuesta al problema de la mesa y de la diputación permanente al nuevo congreso elegido. Como hay bastante variedad de partidos resulta que los números son muy grandes. En particular la mesa necesita 136 miembros, y la diputación permanente necesitaría a todos los diputados. La distribución sería la siguiente:

Partido Congreso y Diputación permanente Mesa
PP_2015 123 42
Logotipo_del_PSOE.svg 90 27
Podemos_(logo_círculos).svg 69 27
Ciudadanos-icono.svg 40 15
ERC_logotipo_compacto.svg 9 8
Democracia_i_Llibertat 8 7
EAJlogo 6 5
Unidad_Popular.svg 2 2
EHBilduLogoa 2 2
30px-Logocoalicion.svg 1 1
Total 350 136

En particular se puede ver que todas las sumas de la columna central mayores que 175 son mayores que 68 en la de la derecha, las que son exactamente 175 son exactamente 68 en la derecha, y las que son menores que 175 son menores que 68 en la derecha. Si decidiéramos (arbitrariamente) que sólo tenemos en cuenta los partidos que cumplen las condiciones para tener grupo propio (PP, PSOE, Podemos, C’s y PNV), entonces el resultado sería el siguiente:

Partido Congreso Diputación Permanente Mesa
PP_2015 123 26 3
Logotipo_del_PSOE.svg 90 20 2
Podemos_(logo_círculos).svg 69 14 2
Ciudadanos-icono.svg 40 9 1
EAJlogo 6 2 1
Total 328 71 9

Aquí el PNV decidiría en el caso de que votaran en un sentido PP y C’s, y PSOE y P’s en sentido contrario. Necesitan dos miembros en la diputación porque su voto puede marcar la diferencia entre que gane un bloque o el otro, pero si se abstienen ganaría el primer bloque, con 35 miembros contra 34.

Otra aplicación consistiría en resolver el problema en los parlamentos autonómicos. Parece claro que cuantos más partidos tenga un parlamento autonómico más miembros necesitará la mesa para reflejar su diversidad. Hay varios parlamentos con siete partidos, pero en todos ellos la diputación permanente se correspondería igualmente con el parlamento completo. Consideremos el parlamento de Cataluña, con seis:

Partido Parlament Diputación permanente Mesa
LOGOAU090008 62 28 4
LOGOAU090005 25 11 1
LOGOAU090011 16 8 1
LOGOAU090004 11 5 1
LOGOAU090012 11 5 1
LOGOAU090001 10 4 1
Total 135 61 9

El parlamento autonómico con menos partidos son las Cortes de Castilla-La Mancha, con tan solo tres, lo que permitiría una diputación permanente y una mesa de tamaño más reducido.

Partido Cortes Diputación Permanente Mesa
PP_2015 16 4 1
Logotipo_del_PSOE.svg 15 3 1
Podemos_(logo_círculos).svg 2 2 1
Total 33 9 3

En general este método podría utilizarse como sistema electoral, ya que reflejaría a la perfección la opinión de los ciudadanos, aunque a costa de perder proporcionalidad, ya que por ejemplo un partido con el 90% de votos sólo necesitaría el 51% de los escaños. Si por ejemplo lo aplicáramos a las últimas elecciones generales con todos los partidos que hayan obtenido al menos un 1% de los votos obtendríamos:

Partido Votos Permitiendo abstenciones No permitiendo abstenciones
PP_2015 7.215.752 247 9
Logotipo_del_PSOE.svg 5.530.779 191 6
Podemos_(logo_círculos).svg 5.198.463 177 6
Ciudadanos-icono.svg 3.500.541 120 3
Unidad_Popular.svg 923.133 34 2
ERC_logotipo_compacto.svg 599.289 21 1
Democracia_i_Llibertat 565.501 18 1
EAJlogo 301.585 10 1
Total 23.826.043 818 29

Durante los próximos días colgaré una aplicación para poder realizar pruebas con el programa que he hecho, por ejemplo para aplicarlo a otros parlamentos autonómicos o a otros países.